Aljabar Linear Elementer (Fokus Kisi-Kisi)
1. Jika $A$ dan $B$ adalah matriks $3 \times 3$ sehingga $\det(A)=2$ dan $\det(B)=-5$, hitunglah $\det(A^T(B^{-1})^2)$.
2. Temukan semua nilai $k$ sehingga matriks $A - kI$ singular, di mana $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$.
3. Buktikan bahwa jika $A$ adalah matriks anti-simetris berukuran $3 \times 3$ (yaitu $A^T=-A$), maka $\det(A)=0$.
4. Tentukan matriks $X$ dari persamaan $X = 3A - 2B$ jika $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.
5. Diberikan $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ dan $D = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. Hitunglah $CD$ dan $DC$.
6. Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss-Jordan:
$x - 2y + 3z = 7$
$2x + y + z = 4$
$-3x + 2y - 2z = -10$
7. Untuk nilai $a$ berapakah sistem berikut memiliki tak hingga banyak solusi?
$x + y - z = 2$
$x + 2y + z = 3$
$x + y + (a^2-5)z = a$
8. Tentukan invers dari matriks $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ menggunakan OBE.
9. Jelaskan mengapa sebuah sistem persamaan linear homogen tidak pernah inkonsisten.
10. Tentukan solusi umum dari sistem $AX=0$ jika matriks $A$ setelah direduksi baris menjadi $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
11. Tentukan apakah himpunan vektor $S = \{(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)\}$ merupakan basis untuk $R^3$.
12. Apakah vektor $v=(3, 4, 1)$ merupakan kombinasi linear dari vektor $u_1=(1, 1, -1)$ dan $u_2=(2, 2, 0)$?
13. Carilah basis untuk ruang yang direntang oleh himpunan vektor $S = \{(1, 2, 0), (0, 1, -1), (1, 3, -1)\}$.
14. Apakah himpunan semua matriks $2 \times 2$ yang memiliki jejak (trace) sama dengan nol merupakan subruang dari $M_{22}$?
15. Tentukan basis untuk ruang nol (null space) dari matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 8 \end{pmatrix}$.
16. Buktikan bahwa jika $A$ adalah matriks persegi dan $A^2 - 4A - 5I = 0$, maka $A$ dapat dibalik.
17. Tentukan proyeksi ortogonal dari vektor $u = (1, 0, 0)$ pada vektor $v = (1, 1, 1)$.
18. Cari basis untuk ruang baris (row space) dari matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 2 & -6 & 4 \\ 3 & -9 & 6 \end{pmatrix}$. Berapakah rank dari matriks A?
19. Tentukan persamaan bidang yang melewati titik $(3, 1, -2)$ dan memiliki vektor normal $n=(2, -1, 5)$.
20. Jika $u$, $v$, dan $w$ adalah vektor-vektor di $R^3$, buktikan bahwa $u \cdot (v \times w) = (u \times v) \cdot w$.
21. Tentukan apakah himpunan $W$ dari semua vektor di $R^3$ dengan bentuk $(a, a^2, b)$ merupakan subruang dari $R^3$.
22. Tentukan basis untuk subruang dari $P_2$ yang direntang oleh $\{1, 1+x, x-x^2, 1+2x-x^2\}$.
23. Buktikan bahwa jika $\{u,v\}$ adalah himpunan bebas linear, maka $\{u+v, u-v\}$ juga bebas linear.
24. Carilah besar sudut antara vektor $u=(2,1,-1)$ dan $v=(1,1,1)$.
25. Periksa apakah $T: R^3 \rightarrow R^2$ yang didefinisikan oleh $T(x,y,z) = (x+1, y+z)$ adalah transformasi linear.
26. Jika $A$ adalah matriks $5 \times 7$, apa nilai terbesar yang mungkin untuk rank(A) dan nilai terkecil yang mungkin untuk nullitas(A)?
27. Jika $v_1, v_2, v_3$ adalah vektor-vektor yang bebas linear, tunjukkan bahwa $v_1, v_2, v_1+v_2+v_3$ juga bebas linear.
28. Periksa apakah himpunan semua vektor di $R^2$ yang berbentuk $(a, 2a)$ merupakan subruang dari $R^2$. Berikan penjelasan dengan menguji sifat ketertutupan terhadap penjumlahan dan perkalian skalar.
29. Tunjukkan bahwa jika $A$ adalah matriks persegi dan ada matriks tak nol $X$ sedemikian rupa sehingga $AX=0$, maka $A$ tidak dapat dibalik.
30. Tentukan apakah himpunan semua matriks $2 \times 2$ yang berbentuk $\begin{pmatrix} a & a+b \\ a+b & b \end{pmatrix}$ merupakan subruang dari $M_{22}$.