Aljabar Linear Elementer I
1. Diberikan matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$. Hitunglah $(A^T A - 2A)$.
2. Tentukan matriks elementer $E$ yang mentransformasikan $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ menjadi $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ melalui satu operasi baris.
3. Jika $A$ adalah matriks $3 \times 3$ dengan $\det(A) = 2$, hitunglah $\det(3A^{-1})$.
4. Suatu matriks $A$ disebut anti-simetris jika $A^T = -A$. Berikan contoh matriks anti-simetris berukuran $3 \times 3$ yang bukan matriks nol.
5. Diberikan $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Cari matriks $B$ sehingga $AB = I$, di mana $I$ adalah matriks identitas.
6. Tentukan solusi dari sistem persamaan linear berikut menggunakan metode apa pun yang relevan (Eliminasi Gauss/Gauss-Jordan/Aturan Cramer):
$x + y + z = 2$
$2x + 3y + 2z = 5$
$2x + 3y + (k^2-1)z = k+1$. Tentukan nilai $k$ agar sistem memiliki solusi tunggal.
7. Selesaikan sistem persamaan linear homogen berikut dan tentukan basis untuk ruang solusinya:
$x_1 + 3x_2 + x_3 = 0$
$2x_1 + 7x_2 + x_3 = 0$
$x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 0$
8. Diketahui matriks augmented dari suatu SPL telah direduksi menjadi $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Tentukan solusi umum dari sistem tersebut.
9. Gunakan eliminasi Gauss-Jordan untuk menentukan apakah matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$ dapat dibalik. Jika ya, cari inversnya.
10. Tentukan apakah sistem persamaan linear berikut konsisten. Jika ya, tentukan jumlah solusinya (tunggal atau tak hingga). Anda tidak perlu mencari solusinya.
$x_1 + 2x_2 - x_3 = 4$
$2x_1 + 5x_2 + 2x_3 = 9$
$x_1 + 4x_2 + 7x_3 = 6$
11. Tentukan apakah himpunan $S = \{(1, 2, 3), (2, -1, 1), (3, 1, -2)\}$ membentuk basis ortogonal untuk $R^3$.
12. Apakah himpunan semua vektor $(x, y, z)$ di $R^3$ sedemikian rupa sehingga $z = x \cdot y$ merupakan subruang dari $R^3$? Jelaskan.
13. Tentukan basis untuk subruang dari $R^3$ yang didefinisikan oleh bidang $x - 2y + 3z = 0$.
14. Kurangi himpunan vektor $S = \{(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1), (1,2,3)\}$ menjadi sebuah basis untuk $R^3$.
15. Tentukan basis untuk ruang yang direntang oleh vektor-vektor polinom $p_1=1+x+x^2$, $p_2=x+x^2$, $p_3=1$.
16. Buktikan bahwa jika $A$ adalah matriks $n \times n$ sedemikian rupa sehingga $A^k = 0$ untuk suatu integer positif $k$, maka $A$ adalah matriks singular.
17. Misalkan $u$ dan $v$ adalah vektor-vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam. Buktikan bahwa $\|u+v\|^2 + \|u-v\|^2 = 2\|u\|^2 + 2\|v\|^2$.
18. Cari basis untuk ruang baris (row space) dan ruang kolom (column space) dari matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$.
19. Carilah persamaan simetrik untuk garis perpotongan antara bidang $x+y+z=1$ dan $x-2y+3z=1$.
20. Jika $A$ dan $B$ adalah matriks $n \times n$, buktikan bahwa jika $I-AB$ dapat dibalik, maka $I-BA$ juga dapat dibalik.
21. Cari semua nilai $a$ yang membuat himpunan vektor $\{(a, 1, 0), (1, a, 1), (0, 1, a)\}$ bergantung linear.
22. Misalkan $T: R^2 \rightarrow R^3$ adalah transformasi linear yang didefinisikan oleh $T(x, y) = (x+y, x-y, 2x)$. Tentukan basis untuk kernel(T) dan jangkauan(T).
23. Apakah himpunan semua matriks segitiga atas $n \times n$ merupakan subruang dari $M_{nn}$?
24. Tentukan volume paralelepiped yang dibentuk oleh vektor $u=(1,2,3)$, $v=(1,1,2)$, dan $w=(2,1,1)$.
25. Cari matriks transisi dari basis $B = \{(1,1), (1,-1)\}$ ke basis baku $B' = \{(1,0), (0,1)\}$ di $R^2$.
26. Jika $A$ adalah matriks $4 \times 4$ dan $\det(A) = 1/2$, hitunglah $\det(-A)$, $\det(A^{-1})$, dan $\det((3A)^T)$.
27. Cari basis untuk subruang dari $R^3$ yang terdiri dari semua vektor yang ortogonal terhadap $v = (1, -1, 2)$.
28. Tentukan rank dan nullitas dari transformasi linear $T: P_2 \rightarrow P_2$ yang didefinisikan oleh $T(p(x)) = xp'(x)$, di mana $p'(x)$ adalah turunan dari $p(x)$.
29. Buktikan bahwa jika $S = \{v_1, v_2\}$ adalah himpunan bebas linear, maka $S' = \{v_1+v_2, v_1-v_2\}$ juga bebas linear.
30. Diketahui $A$ dan $B$ adalah matriks $n \times n$. Apakah secara umum berlaku $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$? Jika tidak, berikan contoh penyangkal dan jelaskan kondisi apa yang harus dipenuhi agar persamaan tersebut berlaku.