Aljabar Linear Elementer I
1. Diberikan $A = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$. Jika $p(x) = x^2 - 6x + 8$, hitunglah $p(A)$.
2. Tentukan semua nilai $c$ agar matriks $\begin{pmatrix} c & c \\ 4 & c \end{pmatrix}$ tidak dapat dibalik (singular).
3. Jika $A$ adalah matriks $3 \times 3$ yang dapat dibalik, buktikan bahwa $\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^2$.
4. Tunjukkan bahwa jika $A$ adalah matriks simetris yang dapat dibalik, maka $A^{-1}$ juga simetris.
5. Diberikan $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Hitunglah $A^3$.
6. Cari persamaan parabola $y = ax^2 + bx + c$ yang melalui titik-titik $(1, 4)$, $(2, 9)$, dan $(-1, 6)$. Gunakan sistem persamaan linear untuk menyelesaikannya.
7. Selesaikan sistem berikut dengan eliminasi Gauss-Jordan:
$x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 9$
$2x_1 - x_2 + x_3 = 0$
$4x_1 - x_2 + x_3 = 4$
8. Tentukan nilai $a$ sehingga sistem berikut mempunyai solusi tak hingga banyak.
$x + 2y - z = 1$
$2x + 5y - z = 2$
$x + y - 2z = a$
9. Gunakan eliminasi Gauss-Jordan untuk menentukan invers dari $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.
10. Sebuah sistem persamaan linear memiliki matriks augmented dalam bentuk eselon baris $\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Tuliskan solusi umumnya dalam bentuk parametrik.
11. Tentukan apakah himpunan $S = \{(1, -1, 3), (5, -4, -4), (7, -6, 2)\}$ membentuk basis untuk $R^3$.
12. Nyatakan vektor $v = (1, 7, -4)$ sebagai kombinasi linear dari $v_1 = (1, -1, 2)$ dan $v_2 = (2, 3, 1)$.
13. Tentukan basis dan dimensi untuk subruang dari $R^3$ yang direntang oleh vektor-vektor $S = \{(1, -1, 2), (2, -2, 4), (-3, 3, -6)\}$.
14. Apakah himpunan semua matriks $2 \times 2$ yang dapat dibalik (invertible) merupakan subruang dari $M_{22}$? Berikan alasan.
15. Carilah basis untuk ruang kolom (column space) dari matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}$.
16. Buktikan bahwa determinan dari matriks segitiga atas adalah hasil kali dari entri-entri diagonalnya.
17. Tentukan apakah himpunan semua polinom $p(x)$ di $P_2$ dengan syarat $p(0)=p(1)$ merupakan subruang dari $P_2$.
18. Misalkan $u$ dan $v$ adalah vektor-vektor di $R^n$. Buktikan bahwa $u \cdot v = \frac{1}{4}\|u+v\|^2 - \frac{1}{4}\|u-v\|^2$.
19. Carilah persamaan normal untuk bidang yang melalui titik $P(-1, 2, 5)$ dan sejajar dengan bidang $2x - 3y + z = 1$.
20. Tentukan rank matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & 6 & 2 \\ 3 & -6 & 9 & 3 \end{pmatrix}$. Berapa dimensi ruang nol dari A?
21. Jika $A$ adalah matriks $3 \times 5$, apa kemungkinan nilai terkecil dan terbesar untuk rank(A)? Jelaskan.
22. Diberikan basis $B = \{(1,2,1), (2,9,0), (3,3,4)\}$ untuk $R^3$. Tentukan vektor koordinat dari $v = (5, -1, 9)$ relatif terhadap basis $B$.
23. Selesaikan sistem $x_1-x_2=3, x_2-x_3=2, x_3-x_4=1, x_4-x_1=-6$.
24. Carilah matriks transisi dari basis $B = \{u_1, u_2\}$ ke basis $B' = \{v_1, v_2\}$ di $R^2$, di mana $u_1=(1,0), u_2=(0,1)$ dan $v_1=(1,1), v_2=(2,1)$.
25. Tentukan nilai $a$ agar sistem berikut memiliki solusi tunggal:
$x + 2y + z = 1$
$x + ay + 3z = 2$
$x + 3y + az = 3$
26. Jika $ad-bc \ne 0$, tunjukkan bahwa matriks $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ memiliki invers $\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
27. Cari basis ortogonal untuk subruang $R^3$ yang direntang oleh vektor-vektor $u_1=(1,1,1)$ dan $u_2=(1,-2,1)$.
28. Tentukan apakah $T: M_{22} \rightarrow \mathbb{R}$ yang didefinisikan sebagai $T(A) = \det(A)$ adalah transformasi linear.
29. Tunjukkan bahwa jika $A$ adalah matriks ortogonal (yaitu $A^T=A^{-1}$), maka $\det(A) = \pm 1$.
30. Misalkan $V$ adalah ruang vektor. Buktikan bahwa jika $S=\{v_1, v_2, ..., v_r\}$ merentang $V$, maka setiap himpunan yang mengandung lebih dari $r$ vektor di $V$ pasti bergantung linear.