Aljabar Linear Elementer I
1. Jika $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, hitunglah $A^2 - 2B^T$.
2. Tentukan nilai-nilai $x$ yang memenuhi $\det\begin{pmatrix} x & 2 \\ 8 & x \end{pmatrix} = 0$.
3. Cari invers dari matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & 8 \end{pmatrix}$ menggunakan metode adjoin.
4. Diberikan $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$. Tentukan matriks $X$ sehingga $AX=B$.
5. Sebuah matriks dikatakan idempoten jika hasil perkalian matriks dengan dirinya sendiri sama dengan matriks itu sendiri (yaitu, $A^2=A$). Periksalah apakah matriks $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ adalah matriks idempoten.
6. Hitung determinan dari matriks $C = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}$.
7. Jika $A$ adalah matriks $3 \times 3$ dan $\det(A)=4$, berapakah $\det(A^T A^{-1})$?
8. Tunjukkan bahwa jika $A$ adalah matriks yang dapat dibalik, maka $A^T$ juga dapat dibalik.
9. Cari semua matriks diagonal $2 \times 2$ yang merupakan inversnya sendiri.
10. Jika $A$ dan $B$ adalah matriks yang dapat dibalik, buktikan bahwa $AB$ juga dapat dibalik dan $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.
11. Gunakan eliminasi Gauss-Jordan untuk menemukan semua solusi dari sistem:
$x + y + z = 6$
$x - 2y - z = -3$
$2x - y = 3$
12. Untuk nilai $k$ berapakah sistem berikut ini tidak memiliki solusi?
$x + y + z = 1$
$x + ky + z = 1$
$x + y + kz = 1$
13. Tentukan invers dari matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$ menggunakan Operasi Baris Elementer.
14. Tentukan solusi umum dari sistem persamaan linear homogen berikut:
$x_1 + 2x_2 - x_3 = 0$
$2x_1 + 5x_2 + 2x_3 = 0$
15. Tentukan kondisi pada $b_1, b_2, b_3$ agar sistem berikut konsisten:
$x + y + 2z = b_1$
$x + z = b_2$
$2x + y + 3z = b_3$
16. Tentukan apakah himpunan $S = \{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)\}$ merupakan basis untuk $R^3$.
17. Apakah vektor $v=(2,2,2)$ berada di dalam ruang yang direntang oleh $v_1=(1,0,1)$ dan $v_2=(0,1,1)$?
18. Periksa apakah himpunan $S = \{(1,0,1,0), (0,1,-1,2), (0,0,0,1)\}$ bebas linear di $R^4$.
19. Tentukan basis dan dimensi untuk ruang solusi (ruang nol) dari sistem $AX=0$ dimana $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 5 & -4 & -4 \\ 7 & -6 & 2 \end{pmatrix}$.
20. Tentukan basis untuk subruang dari $R^3$ yang direntang oleh vektor-vektor $S = \{(1,2,-1), (-1, -2, 1), (2,4,-2)\}$.
21. Cari semua nilai $k$ sehingga sistem persamaan berikut mempunyai solusi tak trivial:
$x + ky + z = 0$
$kx + y + z = 0$
$x + y + kz = 0$
22. Jika $u=(2, -1, 1)$ dan $v=(1, 1, 2)$, tentukan besar sudut di antara kedua vektor tersebut.
23. Apakah himpunan semua matriks $2 \times 2$ yang determinannya nol merupakan subruang dari $M_{22}$? Jelaskan.
24. Cari luas jajaran genjang yang titik sudutnya berada di $P(1,1,0)$, $Q(3,2,1)$, dan $R(0,4,1)$.
25. Cari persamaan parametrik untuk garis yang melalui titik $P(2,4,-1)$ dan $Q(5,0,7)$.
26. Jika $A$ dan $B$ adalah matriks $n \times n$ sedemikian rupa sehingga $AB$ singular, buktikan bahwa $A$ atau $B$ (atau keduanya) harus singular.
27. Tentukan persamaan normal bidang yang melalui titik-titik $P(1,0,-1)$, $Q(2,2,0)$ dan $R(3,1,1)$.
28. Buktikan bahwa jika $\{u, v\}$ adalah himpunan bebas linear di $R^3$, maka $\{u, u+v\}$ juga bebas linear.
29. Tentukan vektor koordinat dari $v=(2,1,2)$ relatif terhadap basis $B = \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\}$.
30. Buktikan bahwa jika $A$ adalah matriks persegi yang memenuhi persamaan $A^2 - 3A + 2I = 0$, maka $A$ dapat dibalik.