Aljabar Linear Elementer I
1. Diberikan matriks $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 4 & -5 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 7 & -5 & 1 \\ 1 & -4 & -3 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$. Tentukan ekspresi $(C(A-B))^T$.
Keterkaitan: Operasi dasar, transpos.
2. Tentukan nilai $x$ agar matriks $M = \begin{pmatrix} x-1 & 1 & -1 \\ 0 & x-2 & 1 \\ x & 0 & 2 \end{pmatrix}$ menjadi matriks singular.
Keterkaitan: Determinan, matriks singular.
3. Diketahui $\det(A) = 5$ untuk matriks $A$ berukuran $3 \times 3$. Hitunglah $\det(2A^{-1})$.
Keterkaitan: Sifat determinan dan invers.
4. Tentukan matriks Adjoin (Adj) dari $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 5 & -2 & -3 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$.
Keterkaitan: Minor, kofaktor, adjoin.
5. Buktikan bahwa $(A+B)^T = A^T + B^T$ dan $(AB)^T = B^T A^T$ untuk matriks umum $A$ dan $B$ berordo $2 \times 2$.
Keterkaitan: Sifat-sifat transpos.
6. Gunakan eliminasi Gauss-Jordan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear berikut:
$x_1 + x_2 + 2x_3 = 8$
$-x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 1$
$3x_1 - 7x_2 + 4x_3 = 10$
Keterkaitan: Solusi SPL dengan Gauss-Jordan.
7. Selesaikan sistem persamaan linear berikut menggunakan eliminasi Gauss-Jordan dan nyatakan solusinya (jika ada) dalam bentuk vektor parametrik:
$x + 2y - z = 3$
$2x + 5y + 2z = 7$
$x + 3y + 3z = 4$
Keterkaitan: Solusi SPL tak hingga, variabel bebas.
8. Tentukan nilai-nilai $p$ agar sistem berikut memiliki (a) tidak ada solusi, (b) solusi tunggal, dan (c) tak hingga banyak solusi.
$x - y + 2z = p$
$x + z = 2$
$2x + y + 3z = 4$
Keterkaitan: Analisis solusi SPL.
9. Tentukan invers dari matriks $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 5 & -2 & -3 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan.
Keterkaitan: Invers matriks dengan OBE.
10. Tuliskan matriks augmented untuk sistem berikut dan ubah ke bentuk eselon baris (tidak perlu tereduksi).
$2y + 3z = 1$
$3x + 6y - 3z = 0$
$6x + 6y + 3z = 4$
Keterkaitan: Matriks augmented, eliminasi Gauss.
11. Periksa apakah himpunan vektor $S = \{(1, 2, -1), (6, 3, 0), (4, -1, 2)\}$ membentuk basis untuk $R^3$. Jelaskan jawaban Anda.
Keterkaitan: Basis, kebebasan linear, membangun.
12. Tentukan apakah vektor $w = (1, 1, 2)$ merupakan kombinasi linear dari $v_1=(1, 0, 1)$ dan $v_2=(2, 1, 0)$.
Keterkaitan: Kombinasi linear, membangun.
13. Diberikan $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$. Tentukan $A^{-1}$ dengan menggunakan metode Adjoin.
Keterkaitan: Invers, adjoin, determinan.
14. Apakah himpunan semua matriks simetris berukuran $2 \times 2$ merupakan subruang dari ruang vektor matriks $M_{22}$? Buktikan.
Keterkaitan: Subruang, ruang vektor matriks.
15. Tentukan basis untuk ruang nol (null space) dari matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 0 \\ 2 & 2 & -4 & 0 \end{pmatrix}$.
Keterkaitan: Basis, ruang nol (null space).
16. Jika $A$ dapat dibalik dan $A^{-1}$ adalah inversnya, buktikan bahwa $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$.
17. Selesaikan $X$ dari persamaan matriks $A^{-1} X B = C$ jika diketahui $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$.
18. Tentukan rank dari matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & -2 & 3 \\ 3 & -7 & 4 \end{pmatrix}$.
19. Carilah persamaan bidang yang melewati titik $P(1,1,1)$ dan sejajar dengan vektor $u=(1,0,-1)$ dan $v=(0,2,1)$.
20. Untuk nilai $k$ berapakah himpunan vektor $\{(1,0,k), (0,1,k), (k,0,1)\}$ tidak menjadi basis untuk $R^3$?
21. Tentukan semua nilai $c$ sehingga matriks $A = \begin{pmatrix} c & 1 & 0 \\ 1 & c & 1 \\ 0 & 1 & c \end{pmatrix}$ dapat dibalik.
22. Tentukan basis untuk subruang dari $R^3$ yang direntang oleh himpunan vektor $S = \{(1, 2, 2), (-1, 0, 1), (0, 2, 3)\}$.
Keterkaitan: Basis, ruang yang direntang.
23. Apakah vektor-vektor baris dari matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ membentuk basis untuk $R^3$?
24. Tentukan basis untuk ruang nol (null space) dari matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 5 & -4 & -4 \\ 7 & -6 & 2 \end{pmatrix}$.
Keterkaitan: Basis, ruang nol, SPL homogen.
25. Diberikan matriks $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$. Tentukan matriks $X$ yang memenuhi $AX = B$.
Keterkaitan: Persamaan Matriks, Operasi Matriks.
26. Jika $A$ adalah matriks $n \times n$ dan $A^2 = A$, buktikan bahwa $\det(A)$ harus 0 atau 1.
27. Periksa apakah himpunan vektor $S = \{(1,2,3), (0,1,2), (-2,0,1)\}$ merupakan basis untuk $R^3$.
Keterkaitan: Basis, kebebasan linear.
28. Tentukan apakah himpunan semua vektor $(a, b, c)$ di $R^3$ sedemikian rupa sehingga $a+b+c=0$ merupakan subruang dari $R^3$.
Keterkaitan: Subruang, ruang vektor.
29. Nyatakan matriks $A = \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ sebagai perkalian matriks-matriks elementer.
30. Tentukan apakah operator $T(x,y) = (x+y, x-y, 3y)$ adalah operator linear dari $R^2$ ke $R^3$.